Επίλυση sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=5$$

$$x=1$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε -\sqrt{2x-1} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{3x+1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Αφαιρέστε 1 από 1 για να λάβετε 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Συνδυάστε το 3x και το -2x για να λάβετε x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 2στη δύναμη του 2 και λάβετε 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{2x-1}στη δύναμη του 2 και λάβετε 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Αφαιρέστε 8x και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Συνδυάστε το 2x και το -8x για να λάβετε -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-6x+5 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-6 ab=5$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=-5 b=-1$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-5=0 και x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Αντικαταστήστε το x με 5 στην εξίσωση \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=5 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Αντικαταστήστε το x με 1 στην εξίσωση \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=1 ικανοποιεί την εξίσωση.

$$1=1$$

Λίστα όλων των λύσεων για το \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$