Επίλυση ∫ 4left(5-2xright)^3 wrt x

$$\int{ 4 { \left(5-2x \right) }^{ 3 } }d x$$

Υπολογισμός

$$-\frac{\left(5-2x\right)^{4}}{2}+С$$

Βήματα λύσης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} για να αναπτύξετε το \left(5-2x\right)^{3}.

$$\int 4\left(125-150x+60x^{2}-8x^{3}\right)\mathrm{d}x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 4 με το 125-150x+60x^{2}-8x^{3}.

$$\int 500-600x+240x^{2}-32x^{3}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int 500\mathrm{d}x+\int -600x\mathrm{d}x+\int 240x^{2}\mathrm{d}x+\int -32x^{3}\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int 500\mathrm{d}x-600\int x\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Βρείτε το ολοκλήρωμα των 500 χρησιμοποιώντας τον πίνακα με τον κοινό ολοκληρώματα κανόνα \int a\mathrm{d}x=ax.

$$500x-600\int x\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x\mathrm{d}x με \frac{x^{2}}{2}. Πολλαπλασιάστε το -600 επί \frac{x^{2}}{2}.

$$500x-300x^{2}+240\int x^{2}\mathrm{d}x-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το 240 επί \frac{x^{3}}{3}.

$$500x-300x^{2}+80x^{3}-32\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{3}\mathrm{d}x με \frac{x^{4}}{4}. Πολλαπλασιάστε το -32 επί \frac{x^{4}}{4}.

$$500x-300x^{2}+80x^{3}-8x^{4}$$

Εάν η F\left(x\right) είναι αντιπαράγωγος του f\left(x\right), τότε δίνεται το σύνολο όλων των antiderivatives του f\left(x\right) από το F\left(x\right)+C. Επομένως, προσθέστε τη σταθερά της ενοποίησης C\in \mathrm{R} στο αποτέλεσμα.

$$500x-300x^{2}+80x^{3}-8x^{4}+С$$

Διαφόριση ως προς x

$$4\left(5-2x\right)^{3}$$