Επίλυση ∫ (from 1 to 8) of (1/sqrt[3]{x}-3x^15) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 8 } ( \frac { 1 } { \sqrt[ 3 ] { x } } - 3 x ^ { 15 } ) d x$$

Υπολογισμός

$$-\frac{844424930131893}{16}=-5,277655813 \cdot 10^{13}$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}-3x^{15}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x+\int -3x^{15}\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x-3\int x^{15}\mathrm{d}x$$

Γράψτε πάλι το \frac{1}{\sqrt[3]{x}} ως x^{-\frac{1}{3}}. Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{-\frac{1}{3}}\mathrm{d}x με \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}. Απλοποιήστε.

$$\frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2}-3\int x^{15}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{15}\mathrm{d}x με \frac{x^{16}}{16}. Πολλαπλασιάστε το -3 επί \frac{x^{16}}{16}.

$$\frac{3x^{\frac{2}{3}}}{2}-\frac{3x^{16}}{16}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{3}{2}\times 8^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{16}\times 8^{16}-\left(\frac{3}{2}\times 1^{\frac{2}{3}}-\frac{3}{16}\times 1^{16}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$-\frac{844424930131893}{16}$$