Επίλυση ∫ (from - 1 to 1) of (2x^2-x^3) wrt x

$$\int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 2 x ^ { 2 } - x ^ { 3 } ) d x$$

Υπολογισμός

$$\frac{4}{3}\approx 1,333333333$$

Βήματα λύσης

Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα πρώτα.

$$\int 2x^{2}-x^{3}\mathrm{d}x$$

Ενσωματώστε τον όρο άθροιση ανά όρο.

$$\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int -x^{3}\mathrm{d}x$$

Παραγοντοποιήστε τη σταθερά σε κάθε όρο.

$$2\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{2}\mathrm{d}x με \frac{x^{3}}{3}. Πολλαπλασιάστε το 2 επί \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Καθώς \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} για k\neq -1, αντικαταστήστε \int x^{3}\mathrm{d}x με \frac{x^{4}}{4}. Πολλαπλασιάστε το -1 επί \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}$$

Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι η αντιπαράγωγος της παράστασης που έχει εκτιμηθεί στο άνω όριο της ολοκλήρωσης μείον την αντιπαράγωγο στο κάτω όριο της ολοκλήρωσης.

$$\frac{2}{3}\times 1^{3}-\frac{1^{4}}{4}-\left(\frac{2}{3}\left(-1\right)^{3}-\frac{\left(-1\right)^{4}}{4}\right)$$

Απλοποιήστε.

$$\frac{4}{3}$$