Επίλυση x-1/x-2geq3/4-2x

$$\frac{ x-1 }{ x-2 } \geq \frac{ 3 }{ 4-2x }$$

Λύση ως προς x

$$x\in (-\infty,-\frac{1}{2}]\cup (2,\infty)$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε \frac{3}{4-2x} και από τις δύο πλευρές.

$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{3}{4-2x}\geq 0$$

Παραγοντοποιήστε με το 4-2x.

$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{3}{2\left(-x+2\right)}\geq 0$$

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε παραστάσεις, αναπτύξτε τις ώστε οι παρονομαστές τους να είναι ίδιοι. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-2 και 2\left(-x+2\right) είναι 2\left(x-2\right). Πολλαπλασιάστε το \frac{x-1}{x-2} επί \frac{2}{2}. Πολλαπλασιάστε το \frac{3}{2\left(-x+2\right)} επί \frac{-1}{-1}.

$$\frac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-2\right)}-\frac{3\left(-1\right)}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Από τη στιγμή που οι αριθμοί \frac{2\left(x-1\right)}{2\left(x-2\right)} και \frac{3\left(-1\right)}{2\left(x-2\right)} έχουν τον ίδιο παρονομαστή, μπορείτε να τους αφαιρέσετε αφαιρώντας τους αριθμητές τους.

$$\frac{2\left(x-1\right)-3\left(-1\right)}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Κάντε τους πολλαπλασιασμούς στο 2\left(x-1\right)-3\left(-1\right).

$$\frac{2x-2+3}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Συνδυάστε παρόμοιους όρους στο 2x-2+3.

$$\frac{2x+1}{2\left(x-2\right)}\geq 0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2 με το x-2.

$$\frac{2x+1}{2x-4}\geq 0$$

Για να είναι το πηλίκο ≥0, τα 2x+1 και 2x-4 πρέπει να είναι και τα δύο είτε ≤0 είτε ≥0, και το 2x-4 δεν μπορεί να είναι μηδέν. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν 2x+1\leq 0 και 2x-4 είναι αρνητικές.

$$2x+1\leq 0 2x-4<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\leq -\frac{1}{2}.

$$x\leq -\frac{1}{2}$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν 2x+1\geq 0 και 2x-4 είναι θετικοί.

$$2x+1\geq 0 2x-4>0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x>2.

$$x>2$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\leq -\frac{1}{2}\text{; }x>2$$