Επίλυση 4/x-2-x-3/x-4=0

$$\frac{ 4 }{ x-2 } - \frac{ x-3 }{ x-4 } =0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}\approx 4,5-1,322875656i$$

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}\approx 4,5+1,322875656i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 2,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-2,x-4.

$$\left(x-4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 4.

$$4x-16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-5x+6, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x-16-x^{2}+5x-6=0$$

Συνδυάστε το 4x και το 5x για να λάβετε 9x.

$$9x-16-x^{2}-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από -16 για να λάβετε -22.

$$9x-22-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+9x-22=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 9 και το c με -22 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-1\right)\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+4\left(-22\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί -22.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-88}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 81 και το -88.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -7.

$$x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-9+\sqrt{7}i}{-2}$$

Διαιρέστε το -9+i\sqrt{7} με το -2.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±\sqrt{7}i}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{7} από -9.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i-9}{-2}$$

Διαιρέστε το -9-i\sqrt{7} με το -2.

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2} x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 2,4 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-4\right)\left(x-2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-2,x-4.

$$\left(x-4\right)\times 4-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-4 με το 4.

$$4x-16-\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-3 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$4x-16-\left(x^{2}-5x+6\right)=0$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{2}-5x+6, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$4x-16-x^{2}+5x-6=0$$

Συνδυάστε το 4x και το 5x για να λάβετε 9x.

$$9x-16-x^{2}-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από -16 για να λάβετε -22.

$$9x-22-x^{2}=0$$

Προσθήκη 22 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$9x-x^{2}=22$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+9x=22$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+9x}{-1}=\frac{22}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{9}{-1}x=\frac{22}{-1}$$

Διαιρέστε το 9 με το -1.

$$x^{2}-9x=\frac{22}{-1}$$

Διαιρέστε το 22 με το -1.

$$x^{2}-9x=-22$$

Διαιρέστε το -9, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{9}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{9}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-22+\frac{81}{4}$$

Προσθέστε το -22 και το \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-\frac{7}{4}$$

Παραγον x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Προσθέστε \frac{9}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{9+\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-\sqrt{7}i+9}{2}$$