Επίλυση 1/x^3+2x^2-x-2-2/1-x=3/x+1

$$\frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -x-2 } - \frac{ 2 }{ 1-x } = \frac{ 3 }{ x+1 }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{53} + 3}{2} \approx 5,140054945$$

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2,140054945$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 2 για να λάβετε -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2-2x με το 2+x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -4-6x-2x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+x-2 με το 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Συνδυάστε το 6x και το -3x για να λάβετε 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Προσθήκη 6 και στις δύο πλευρές.

$$5+3x-x^{2}+6=0$$

Προσθέστε 5 και 6 για να λάβετε 11.

$$11+3x-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+3x+11=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 3 και το c με 11 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{-2}$$

Διαιρέστε το -3+\sqrt{53} με το -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{53} από -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{-2}$$

Διαιρέστε το -3-\sqrt{53} με το -2.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2} x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1.

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 2 για να λάβετε -2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το 1+x.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2-2x με το 2+x και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του -4-6x-2x^{2}, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Προσθέστε 1 και 4 για να λάβετε 5.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+x-2 με το 3.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Αφαιρέστε 3x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το -3x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

Συνδυάστε το 6x και το -3x για να λάβετε 3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές.

$$3x-x^{2}=-6-5$$

Αφαιρέστε 5 από -6 για να λάβετε -11.

$$3x-x^{2}=-11$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-11$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Διαιρέστε το 3 με το -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{11}{-1}$$

Διαιρέστε το -11 με το -1.

$$x^{2}-3x=11$$

Διαιρέστε το -3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το 11 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Παραγον x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Προσθέστε \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$