Επίλυση -1/x-1+1/x+1=2/x+2

$$\frac{ -1 }{ x-1 } + \frac{ 1 }{ x+1 } = \frac{ 2 }{ x+2 }$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0,5-0,866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-1,x+1,x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+3x+2 με το -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Συνδυάστε το -x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Συνδυάστε το -3x και το x για να λάβετε -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Αφαιρέστε 2 από -2 για να λάβετε -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-1 με το 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Προσθήκη 2 και στις δύο πλευρές.

$$-2x-4-2x^{2}+2=0$$

Προσθέστε -4 και 2 για να λάβετε -2.

$$-2x-2-2x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-2x^{2}-2x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με -2 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\left(-2\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 4 και το -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-12}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{3}i}{-4}$$

Διαιρέστε το 2+2i\sqrt{3} με το -4.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{3}i}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{3} από 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i+2}{-4}$$

Διαιρέστε το 2-2i\sqrt{3} με το -4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -2,-1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x-1,x+1,x+2.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(x^{2}+3x+2\right)\left(-1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+3x+2 με το -1.

$$-x^{2}-3x-2+\left(x-1\right)\left(x+2\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-1 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-x^{2}-3x-2+x^{2}+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Συνδυάστε το -x^{2} και το x^{2} για να λάβετε 0.

$$-3x-2+x-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Συνδυάστε το -3x και το x για να λάβετε -2x.

$$-2x-2-2=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Αφαιρέστε 2 από -2 για να λάβετε -4.

$$-2x-4=\left(x^{2}-1\right)\times 2$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-1 με το 2.

$$-2x-4=2x^{2}-2$$

Αφαιρέστε 2x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-2x-4-2x^{2}=-2$$

Προσθήκη 4 και στις δύο πλευρές.

$$-2x-2x^{2}=-2+4$$

Προσθέστε -2 και 4 για να λάβετε 2.

$$-2x-2x^{2}=2$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-2x=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=\frac{2}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το -2 με το -2.

$$x^{2}+x=\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2 με το -2.

$$x^{2}+x=-1$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το -1 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Παραγον x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$