Επίλυση x-17/x^2+2=-6

$$\frac { x - 17 } { x ^ { 2 } + 2 } = - 6$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -6 με το x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Προσθήκη 6x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Προσθήκη 12 και στις δύο πλευρές.

$$x-17+6x^{2}+12=0$$

Προσθέστε -17 και 12 για να λάβετε -5.

$$x-5+6x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-5 b=6$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}+x-5 ως \left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 6x^{2}-5x.

$$x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 6x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(6x-5\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 6x-5=0 και x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -6 με το x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Προσθήκη 6x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Προσθήκη 12 και στις δύο πλευρές.

$$x-17+6x^{2}+12=0$$

Προσθέστε -17 και 12 για να λάβετε -5.

$$x-5+6x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με 1 και το c με -5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 1 και το 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{-1±11}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±11}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 11.

$$x=\frac{10}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±11}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -1.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Διαιρέστε το -12 με το 12.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -6 με το x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Προσθήκη 6x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Προσθήκη 17 και στις δύο πλευρές.

$$x+6x^{2}=-12+17$$

Προσθέστε -12 και 17 για να λάβετε 5.

$$x+6x^{2}=5$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+x=5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}+x}{6}=\frac{5}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{6}+\frac{1}{144}$$

Προσθέστε το \frac{5}{6} και το \frac{1}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{121}{144}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{12} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$