Επίλυση x/2(x+5)-1/3(x-2)=0

$$\frac { x } { 2 } ( x + 5 ) - \frac { 1 } { 3 } ( x - 2 ) = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2,3.

$$3x\left(x+5\right)-2\left(x-2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x με το x+5.

$$3x^{2}+15x-2\left(x-2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το x-2.

$$3x^{2}+15x-2x+4=0$$

Συνδυάστε το 15x και το -2x για να λάβετε 13x.

$$3x^{2}+13x+4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=13 ab=3\times 4=12$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 13.

$$a=1 b=12$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+13x+4 ως \left(3x^{2}+x\right)+\left(12x+4\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(12x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x+1\right)+4\left(3x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x+1\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x+1=0 και x+4=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2,3.

$$3x\left(x+5\right)-2\left(x-2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x με το x+5.

$$3x^{2}+15x-2\left(x-2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το x-2.

$$3x^{2}+15x-2x+4=0$$

Συνδυάστε το 15x και το -2x για να λάβετε 13x.

$$3x^{2}+13x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 13 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 13 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-12\times 4}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 4.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 169 και το -48.

$$x=\frac{-13±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-13±11}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-13±11}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±11}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -13 και το 11.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-13±11}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -13.

$$x=-\frac{24}{6}$$

Διαιρέστε το -24 με το 6.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{3} x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 6, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των 2,3.

$$3x\left(x+5\right)-2\left(x-2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x με το x+5.

$$3x^{2}+15x-2\left(x-2\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -2 με το x-2.

$$3x^{2}+15x-2x+4=0$$

Συνδυάστε το 15x και το -2x για να λάβετε 13x.

$$3x^{2}+13x+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$3x^{2}+13x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+13x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{13}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{13}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{13}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x+\left(\frac{13}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{13}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{13}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{169}{36}$$

Προσθέστε το -\frac{4}{3} και το \frac{169}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}=\frac{121}{36}$$

Παραγον x^{2}+\frac{13}{3}x+\frac{169}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{13}{6}=\frac{11}{6} x+\frac{13}{6}=-\frac{11}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{13}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{3} x=-4$$