Επίλυση x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Λύση ως προς x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}+2x+1 με το x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x^{2}-2x+1 με το x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Συνδυάστε το x^{5} και το -x^{5} για να λάβετε 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Συνδυάστε το -x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Συνδυάστε το 2x^{4} και το 2x^{4} για να λάβετε 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Συνδυάστε το -2x και το 2x για να λάβετε 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Συνδυάστε το x^{3} και το -x^{3} για να λάβετε 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Αφαιρέστε 1 από -1 για να λάβετε -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 6 με το x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 6x^{2}-12x+6 με το x^{2}+2x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Αφαιρέστε 6x^{4} και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Συνδυάστε το 4x^{4} και το -6x^{4} για να λάβετε -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Προσθήκη 12x^{2} και στις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Συνδυάστε το -2x^{2} και το 12x^{2} για να λάβετε 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από -2 για να λάβετε -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Αντικαταστήστε το t με το x^{2}.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε -2 για a, 10 για b και -8 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Επιλύστε την εξίσωση t=\frac{-10±6}{-4} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$t=1 t=4$$

Αφού x=t^{2}, οι λύσεις ελέγχονται από την αξιολόγηση x=±\sqrt{t} για κάθε t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές 1,-1.

$$x=-2 x=2$$