Επίλυση x+1/x+x/x+1=5/2

$$\frac { x + 1 } { x } + \frac { x } { x + 1 } = \frac { 5 } { 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=1$$

$$x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+2 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x με το x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -5x για να λάβετε -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Το μόνο τέτοιο ζεύγος είναι η λύση του συστήματος.

$$a=1 b=-2$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}-x+2 ως \left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+1\right)\left(x+2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+1=0 και x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+2 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x με το x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -5x για να λάβετε -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -1 και το c με 2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{1±3}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±3}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 3.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Διαιρέστε το 4 με το -2.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{1±3}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από 1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το -2 με το -2.

$$x=1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 2x+2 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Πολλαπλασιάστε x και x για να λάβετε x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Συνδυάστε το 2x^{2} και το 2x^{2} για να λάβετε 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5x με το x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Αφαιρέστε 5x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Συνδυάστε το 4x^{2} και το -5x^{2} για να λάβετε -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -5x για να λάβετε -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$-x^{2}-x=-2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{2}{-1}$$

Διαιρέστε το -1 με το -1.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{-1}$$

Διαιρέστε το -2 με το -1.

$$x^{2}+x=2$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Παραγον x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-2$$