Επίλυση a/b=2/7text{vo}2a+b=44

$$\frac { a } { b } = \frac { 2 } { 7 } \text { vo } 2 a + b = 44$$

Λύση ως προς a, b

$$a=8$$

$$b=28$$

Βήματα χρήσης της αντικατάστασης

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή b δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 7b, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των b,7.

$$7a=2b$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$a=\frac{1}{7}\times 2b$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{1}{7} επί 2b.

$$a=\frac{2}{7}b$$

Αντικαταστήστε το a με \frac{2b}{7} στην άλλη εξίσωση, 2a+b=44.

$$2\times \frac{2}{7}b+b=44$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί \frac{2b}{7}.

$$\frac{4}{7}b+b=44$$

Προσθέστε το \frac{4b}{7} και το b.

$$\frac{11}{7}b=44$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με \frac{11}{7}, το οποίο είναι το ίδιο σαν να πολλαπλασιάζατε και τις δύο πλευρές με το αντίστροφο κλάσμα.

$$b=28$$

Αντικαταστήστε το b με 28 στην a=\frac{2}{7}b. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς a απευθείας.

$$a=\frac{2}{7}\times 28$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{2}{7} επί 28.

$$a=8$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$a=8,b=28$$

Βήματα χρήσης των πινάκων

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή b δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 7b, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των b,7.

$$7a=2b$$

Αφαιρέστε 2b και από τις δύο πλευρές.

$$7a-2b=0$$

Θέστε τις εξισώσεις σε τυπική μορφή και, στη συνέχεια, χρησιμοποιήστε πίνακες για να λύσετε το σύστημα εξισώσεων.

$$7a-2b=0,2a+b=44$$

Γράψτε τις εξισώσεις σε μορφή πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\44\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε αριστερά την εξίσωση με τον αντίστροφο πίνακα του \left(\begin{matrix}7&-2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\44\end{matrix}\right)$$

Το γινόμενο ενός πίνακα και το αντίστροφό του είναι ο μοναδιαίος πίνακας.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\44\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες στην αριστερή πλευρά του συμβόλου ισότητας.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\44\end{matrix}\right)$$

Για τη μήτρα 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), ο αντίστροφος πίνακας είναι \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), επομένως η εξίσωση πίνακα μπορεί να ξαναγραφεί ως πρόβλημα πολλαπλασιασμού πίνακα.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{7-\left(-2\times 2\right)}&\frac{7}{7-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\44\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\44\end{matrix}\right)$$

Πολλαπλασιάστε τους πίνακες.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 44\\\frac{7}{11}\times 44\end{matrix}\right)$$

Κάντε την αριθμητική πράξη.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\28\end{matrix}\right)$$

Εξαγάγετε τα στοιχεία πίνακα a και b.

$$a=8,b=28$$

Βήματα χρήσης της απαλοιφής

Μελετήστε την πρώτη εξίσωση. Η μεταβλητή b δεν μπορεί να είναι ίση με 0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 7b, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των b,7.

$$7a=2b$$

Αφαιρέστε 2b και από τις δύο πλευρές.

$$7a-2b=0$$

Για να λύσετε μέσω απαλοιφής, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές πρέπει να είναι ίδιοι και στις δύο εξισώσεις, έτσι ώστε η μεταβλητή να διαγραφεί όταν η μία εξίσωση αφαιρεθεί από την άλλη.

$$7a-2b=0,2a+b=44$$

Για να κάνετε τα 7a και 2a ίσα, πολλαπλασιάστε όλους τους όρους σε κάθε πλευρά της πρώτης εξίσωσης με 2 και όλους τους όρους, σε κάθε πλευρά της δεύτερης με 7.

$$2\times 7a+2\left(-2\right)b=0,7\times 2a+7b=7\times 44$$

Απλοποιήστε.

$$14a-4b=0,14a+7b=308$$

Αφαιρέστε 14a+7b=308 από 14a-4b=0 αφαιρώντας τους όμοιους όρους σε κάθε πλευρά του ίσον.

$$14a-14a-4b-7b=-308$$

Προσθέστε το 14a και το -14a. Οι όροι 14a και -14a απαλείφονται, αφήνοντας μια εξίσωση με μία μόνο μεταβλητή που μπορεί να επιλυθεί.

$$-4b-7b=-308$$

Προσθέστε το -4b και το -7b.

$$-11b=-308$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -11.

$$b=28$$

Αντικαταστήστε το b με 28 στην 2a+b=44. Επειδή η εξίσωση που προκύπτει περιέχει μόνο μία μεταβλητή, μπορείτε να τη λύσετε ως προς a απευθείας.

$$2a+28=44$$

Αφαιρέστε 28 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$2a=16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$a=8$$

Το σύστημα έχει πλέον λυθεί.

$$a=8,b=28$$