Επίλυση 4/x-5/x+1=1

$$\frac { 4 } { x } - \frac { 5 } { x + 1 } = 1$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)\approx -3,236067977$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 4.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+1.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -x για να λάβετε 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 3x και το -5x για να λάβετε -2x.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -2 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 4 και το 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2+2\sqrt{5} με το -2.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{5} από 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

Διαιρέστε το 2-2\sqrt{5} με το -2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 4.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+1.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -x για να λάβετε 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

Συνδυάστε το 3x και το -5x για να λάβετε -2x.

$$-2x-x^{2}=-4$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

Διαιρέστε το -2 με το -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

Διαιρέστε το -4 με το -1.

$$x^{2}+2x=4$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Προσθέστε το 4 και το 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$

Λύση ως προς x

$$x=\sqrt{5}-1\approx 1,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-1\approx -3,236067977$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 4.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+1.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -x για να λάβετε 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$3x+4-5x-x^{2}=0$$

Συνδυάστε το 3x και το -5x για να λάβετε -2x.

$$-2x+4-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}-2x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με -2 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 4 και το 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2+2\sqrt{5} με το -2.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right)$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±2\sqrt{5}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{5} από 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{-2}$$

Διαιρέστε το 2-2\sqrt{5} με το -2.

$$x=\sqrt{5}-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\left(\sqrt{5}+1\right) x=\sqrt{5}-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 4.

$$4x+4-x\times 5=x\left(x+1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+1.

$$4x+4-x\times 5=x^{2}+x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}=x$$

Αφαιρέστε x και από τις δύο πλευρές.

$$4x+4-x\times 5-x^{2}-x=0$$

Συνδυάστε το 4x και το -x για να λάβετε 3x.

$$3x+4-x\times 5-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$3x-x\times 5-x^{2}=-4$$

Πολλαπλασιάστε -1 και 5 για να λάβετε -5.

$$3x-5x-x^{2}=-4$$

Συνδυάστε το 3x και το -5x για να λάβετε -2x.

$$-2x-x^{2}=-4$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-2x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}-2x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-1}\right)x=-\frac{4}{-1}$$

Διαιρέστε το -2 με το -1.

$$x^{2}+2x=-\frac{4}{-1}$$

Διαιρέστε το -4 με το -1.

$$x^{2}+2x=4$$

Διαιρέστε το 2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1^{2}=4+1^{2}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+2x+1=4+1$$

Προσθέστε το 4 και το 1.

$$x^{2}+2x+1=5$$

Παραγον x^{2}+2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=5$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Απλοποιήστε.

$$x+1=\sqrt{5} x+1=-\sqrt{5}$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\sqrt{5}-1 x=-\sqrt{5}-1$$