Επίλυση 2x/x-2=5+13x^2/x-2

$$\frac { 2 x } { x - 2 } = 5 + \frac { 13 x ^ { 2 } } { x - 2 }$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=\frac{10}{13}\approx 0,769230769$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 5.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Συνδυάστε το 2x και το -5x για να λάβετε -3x.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Αφαιρέστε -10 και από τις δύο πλευρές.

$$-3x-\left(-10\right)=13x^{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$-3x+10=13x^{2}$$

Αφαιρέστε 13x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-3x+10-13x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-13x^{2}-3x+10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -13x^{2}+ax+bx+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=-13\times 10=-130$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -130.

$$1,-130 2,-65 5,-26 10,-13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-130=-129 2-65=-63 5-26=-21 10-13=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=10 b=-13$$

Γράψτε πάλι το -13x^{2}-3x+10 ως \left(-13x^{2}+10x\right)+\left(-13x+10\right).

$$\left(-13x^{2}+10x\right)+\left(-13x+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(13x-10\right)-\left(13x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 13x-10 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(13x-10\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 13x-10=0 και -x-1=0.

$$x=\frac{10}{13} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 5.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Συνδυάστε το 2x και το -5x για να λάβετε -3x.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Αφαιρέστε -10 και από τις δύο πλευρές.

$$-3x-\left(-10\right)=13x^{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$-3x+10=13x^{2}$$

Αφαιρέστε 13x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-3x+10-13x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-13x^{2}-3x+10=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -13, το b με -3 και το c με 10 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-13\right)\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-13\right)\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -13.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+52\times 10}}{2\left(-13\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 52 επί 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+520}}{2\left(-13\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το 520.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{529}}{2\left(-13\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 529.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±23}{2\left(-13\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±23}{2\left(-13\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -13.

$$x=\frac{3±23}{-26}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±23}{-26} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 23.

$$x=\frac{26}{-26}$$

Διαιρέστε το 26 με το -26.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±23}{-26} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 23 από 3.

$$x=-\frac{20}{-26}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{-26} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{10}{13}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=\frac{10}{13}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με 2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με x-2.

$$2x=\left(x-2\right)\times 5+13x^{2}$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το 5.

$$2x=5x-10+13x^{2}$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$2x-5x=-10+13x^{2}$$

Συνδυάστε το 2x και το -5x για να λάβετε -3x.

$$-3x=-10+13x^{2}$$

Αφαιρέστε 13x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-3x-13x^{2}=-10$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-13x^{2}-3x=-10$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -13.

$$\frac{-13x^{2}-3x}{-13}=-\frac{10}{-13}$$

Η διαίρεση με το -13 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -13.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-13}\right)x=-\frac{10}{-13}$$

Διαιρέστε το -3 με το -13.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x=-\frac{10}{-13}$$

Διαιρέστε το -10 με το -13.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x=\frac{10}{13}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{13}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{26}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{26} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\left(\frac{3}{26}\right)^{2}=\frac{10}{13}+\left(\frac{3}{26}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{26} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}=\frac{10}{13}+\frac{9}{676}$$

Προσθέστε το \frac{10}{13} και το \frac{9}{676} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}=\frac{529}{676}$$

Παραγον x^{2}+\frac{3}{13}x+\frac{9}{676}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{26}\right)^{2}=\frac{529}{676}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{676}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{26}=\frac{23}{26} x+\frac{3}{26}=-\frac{23}{26}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{26} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{10}{13} x=-1$$