Επίλυση 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+6 με το 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το x\times 15 για να λάβετε 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Αφαιρέστε 6x και από τις δύο πλευρές.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Συνδυάστε το 17x και το -6x για να λάβετε 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=12 b=-1$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+11x+12 ως \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-12=0 και -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+6 με το 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το x\times 15 για να λάβετε 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Αφαιρέστε 6x και από τις δύο πλευρές.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Συνδυάστε το 17x και το -6x για να λάβετε 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 11 και το c με 12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 121 και το 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±13}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Διαιρέστε το 2 με το -2.

$$x=-1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±13}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Διαιρέστε το -24 με το -2.

$$x=12$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-1 x=12$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -6,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το x\left(x+6\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+6 με το 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Συνδυάστε το 2x και το x\times 15 για να λάβετε 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x με το x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Αφαιρέστε 6x και από τις δύο πλευρές.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Συνδυάστε το 17x και το -6x για να λάβετε 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 12 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$11x-x^{2}=-12$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Διαιρέστε το 11 με το -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Διαιρέστε το -12 με το -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Διαιρέστε το -11, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{11}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{11}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Προσθέστε το 12 και το \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Παραγον x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Προσθέστε \frac{11}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=12 x=-1$$