Επίλυση 2/x^2-1-4/x^2-3x+2=1/3x^2+6x+3

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } = \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } + 6 x + 3 }$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{13}{7} = -1\frac{6}{7} \approx -1,857142857$$

$$x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3.

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x-2.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-6 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x^{2}-3x-6 με το 2.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 3 και 4 για να λάβετε 12.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 12 με το x^{2}+2x+1.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 12x^{2}+24x+12, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -12x^{2} για να λάβετε -6x^{2}.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το -6x και το -24x για να λάβετε -30x.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Αφαιρέστε 12 από -12 για να λάβετε -24.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

Συνδυάστε το -6x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -7x^{2}.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

Προσθήκη 3x και στις δύο πλευρές.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

Συνδυάστε το -30x και το 3x για να λάβετε -27x.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από -24 για να λάβετε -26.

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -7x^{2}+ax+bx-26. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-27 ab=-7\left(-26\right)=182$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 182.

$$-1,-182 -2,-91 -7,-26 -13,-14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-182=-183 -2-91=-93 -7-26=-33 -13-14=-27$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -27.

$$a=-13 b=-14$$

Γράψτε πάλι το -7x^{2}-27x-26 ως \left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right).

$$\left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(7x+13\right)-2\left(7x+13\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7x+13 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7x+13\right)\left(-x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 7x+13=0 και -x-2=0.

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3.

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x-2.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-6 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x^{2}-3x-6 με το 2.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 3 και 4 για να λάβετε 12.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 12 με το x^{2}+2x+1.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 12x^{2}+24x+12, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -12x^{2} για να λάβετε -6x^{2}.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το -6x και το -24x για να λάβετε -30x.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Αφαιρέστε 12 από -12 για να λάβετε -24.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

Συνδυάστε το -6x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -7x^{2}.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

Προσθήκη 3x και στις δύο πλευρές.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

Συνδυάστε το -30x και το 3x για να λάβετε -27x.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

Αφαιρέστε 2 και από τις δύο πλευρές.

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

Αφαιρέστε 2 από -24 για να λάβετε -26.

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -7, το b με -27 και το c με -26 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Υψώστε το -27 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -7.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+28\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 28 επί -26.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-728}}{2\left(-7\right)}$$

Προσθέστε το 729 και το -728.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{1}}{2\left(-7\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±1}{2\left(-7\right)}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -27 είναι 27.

$$x=\frac{27±1}{2\left(-7\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -7.

$$x=\frac{27±1}{-14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{27±1}{-14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 27 και το 1.

$$x=\frac{28}{-14}$$

Διαιρέστε το 28 με το -14.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{27±1}{-14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από 27.

$$x=\frac{26}{-14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{26}{-14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{13}{7}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=-\frac{13}{7}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1,2 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}, δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3.

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x-2.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x-6 με το x+1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3x^{2}-3x-6 με το 2.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+1\right)^{2}.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Πολλαπλασιάστε 3 και 4 για να λάβετε 12.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 12 με το x^{2}+2x+1.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Για να βρείτε τον αντίθετο του 12x^{2}+24x+12, βρείτε τον αντίθετο κάθε όρου.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το 6x^{2} και το -12x^{2} για να λάβετε -6x^{2}.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Συνδυάστε το -6x και το -24x για να λάβετε -30x.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Αφαιρέστε 12 από -12 για να λάβετε -24.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x-2 με το x-1 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

Συνδυάστε το -6x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε -7x^{2}.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

Προσθήκη 3x και στις δύο πλευρές.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

Συνδυάστε το -30x και το 3x για να λάβετε -27x.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

Προσθήκη 24 και στις δύο πλευρές.

$$-7x^{2}-27x=2+24$$

Προσθέστε 2 και 24 για να λάβετε 26.

$$-7x^{2}-27x=26$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -7.

$$\frac{-7x^{2}-27x}{-7}=\frac{26}{-7}$$

Η διαίρεση με το -7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -7.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{-7}\right)x=\frac{26}{-7}$$

Διαιρέστε το -27 με το -7.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=\frac{26}{-7}$$

Διαιρέστε το 26 με το -7.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=-\frac{26}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{27}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{27}{14}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{27}{14} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}=-\frac{26}{7}+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{27}{14} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=-\frac{26}{7}+\frac{729}{196}$$

Προσθέστε το -\frac{26}{7} και το \frac{729}{196} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=\frac{1}{196}$$

Παραγον x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}=\frac{1}{196}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{196}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{27}{14}=\frac{1}{14} x+\frac{27}{14}=-\frac{1}{14}$$

Αφαιρέστε \frac{27}{14} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$