Επίλυση 1/x+1/x+18-1/12=0

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 18 } - \frac { 1 } { 12 } = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-12$$

$$x=18$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -18,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 12x\left(x+18\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Συνδυάστε το 12x και το 12x για να λάβετε 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Πολλαπλασιάστε 12 και -\frac{1}{12} για να λάβετε -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x με το x+18.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Συνδυάστε το 24x και το -18x για να λάβετε 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -x^{2}+ax+bx+216. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=6 ab=-216=-216$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -216.

$$-1,216 -2,108 -3,72 -4,54 -6,36 -8,27 -9,24 -12,18$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+216=215 -2+108=106 -3+72=69 -4+54=50 -6+36=30 -8+27=19 -9+24=15 -12+18=6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 6.

$$a=18 b=-12$$

Γράψτε πάλι το -x^{2}+6x+216 ως \left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right).

$$\left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -12 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(x-18\right)-12\left(x-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-18 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-18\right)\left(-x-12\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-18=0 και -x-12=0.

$$x=18 x=-12$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -18,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 12x\left(x+18\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Συνδυάστε το 12x και το 12x για να λάβετε 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Πολλαπλασιάστε 12 και -\frac{1}{12} για να λάβετε -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x με το x+18.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Συνδυάστε το 24x και το -18x για να λάβετε 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 6 και το c με 216 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 6 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 216.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+864}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 36 και το 864.

$$x=\frac{-6±\sqrt{900}}{2\left(-1\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 900.

$$x=\frac{-6±30}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-6±30}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±30}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -6 και το 30.

$$x=\frac{24}{-2}$$

Διαιρέστε το 24 με το -2.

$$x=-12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-6±30}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 30 από -6.

$$x=-\frac{36}{-2}$$

Διαιρέστε το -36 με το -2.

$$x=18$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-12 x=18$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -18,0 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 12x\left(x+18\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Συνδυάστε το 12x και το 12x για να λάβετε 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Πολλαπλασιάστε 12 και -\frac{1}{12} για να λάβετε -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -x με το x+18.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Συνδυάστε το 24x και το -18x για να λάβετε 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 216 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$6x-x^{2}=-216$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+6x=-216$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=-\frac{216}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=-\frac{216}{-1}$$

Διαιρέστε το 6 με το -1.

$$x^{2}-6x=-\frac{216}{-1}$$

Διαιρέστε το -216 με το -1.

$$x^{2}-6x=216$$

Διαιρέστε το -6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=216+\left(-3\right)^{2}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-6x+9=216+9$$

Προσθέστε το 216 και το 9.

$$x^{2}-6x+9=225$$

Παραγον x^{2}-6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=225$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Απλοποιήστε.

$$x-3=15 x-3=-15$$

Προσθέστε 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=18 x=-12$$