Επίλυση 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Συνδυάστε το x και το 2x για να λάβετε 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Προσθέστε -1 και 2 για να λάβετε 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Συνδυάστε το 3x και το -2x για να λάβετε x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -1, το b με 1 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Προσθέστε το 1 και το 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Διαιρέστε το -1+\sqrt{5} με το -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε \sqrt{5} από -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Διαιρέστε το -1-\sqrt{5} με το -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Η μεταβλητή x δεν μπορεί να είναι ίση με οποιαδήποτε από τις τιμές -1,1 επειδή δεν μπορεί να οριστεί η διαίρεση με το μηδέν. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το \left(x-1\right)\left(x+1\right), δηλαδή τον ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το x+1 με το 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Συνδυάστε το x και το 2x για να λάβετε 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Προσθέστε -1 και 2 για να λάβετε 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Αφαιρέστε x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Αφαιρέστε 2x και από τις δύο πλευρές.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Συνδυάστε το 3x και το -2x για να λάβετε x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$x-x^{2}=-1$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Η διαίρεση με το -1 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Διαιρέστε το 1 με το -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Διαιρέστε το -1 με το -1.

$$x^{2}-x=1$$

Διαιρέστε το -1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 1 και το \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Παραγον x^{2}-x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Προσθέστε \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$