z^2+8z-20 lösen

$$z ^ { 2 } + 8 z - 20$$

Faktorisieren

$$\left(z-2\right)\left(z+10\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als z^{2}+az+bz-20 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=8 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -20 ergeben.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 8 ergibt.

$$a=-2 b=10$$

z^{2}+8z-20 als \left(z^{2}-2z\right)+\left(10z-20\right) umschreiben.

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(10z-20\right)$$

Klammern Sie z in der ersten und 10 in der zweiten Gruppe aus.

$$z\left(z-2\right)+10\left(z-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term z-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(z-2\right)\left(z+10\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$z^{2}+8z-20=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$z=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-20\right)}}{2}$$

8 zum Quadrat.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-20\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -20.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64+80}}{2}$$

Addieren Sie 64 zu 80.

$$z=\frac{-8±\sqrt{144}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$z=\frac{-8±12}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-8±12}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -8 zu 12.

$$z=\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie 4 durch 2.

$$z=2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung z=\frac{-8±12}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von -8.

$$z=-\frac{20}{2}$$

Dividieren Sie -20 durch 2.

$$z=-10$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 2 und für x_{2} -10 ein.

$$z^{2}+8z-20=\left(z-2\right)\left(z-\left(-10\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$z^{2}+8z-20=\left(z-2\right)\left(z+10\right)$$

Auswerten

$$\left(z-2\right)\left(z+10\right)$$