y^2-17y+30=0 lösen

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Nach y auflösen

$$y=2$$

$$y=15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor y^{2}-17y+30 mithilfe der Formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-17 ab=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -17 ergibt.

$$a=-15 b=-2$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(y+a\right)\left(y+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-15=0 und y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als y^{2}+ay+by+30 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 30 ergeben.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -17 ergibt.

$$a=-15 b=-2$$

y^{2}-17y+30 als \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right) umschreiben.

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Klammern Sie y in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-15 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie y-15=0 und y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -17 und c durch 30, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

-17 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Addieren Sie 289 zu -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

Das Gegenteil von -17 ist 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{17±13}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 17 zu 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Dividieren Sie 30 durch 2.

$$y=15$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{17±13}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie 4 durch 2.

$$y=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$y=15 y=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$y^{2}-17y+30=0$$

30 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Die Subtraktion von 30 von sich selbst ergibt 0.

$$y^{2}-17y=-30$$

Dividieren Sie -17, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{17}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{17}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{17}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Addieren Sie -30 zu \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor y^{2}-17y+\frac{289}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vereinfachen.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addieren Sie \frac{17}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$y=15 y=2$$