x=1+sqrt{7}-6/x lösen

$$x=1+ \sqrt{ 7 } - \frac{ 6 }{ x }$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{\sqrt{7}+1+i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}\approx 1,822875656+1,636192026i$$

$$x=\frac{-i\sqrt{16-2\sqrt{7}}+\sqrt{7}+1}{2}\approx 1,822875656-1,636192026i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um Ausdrücke zu addieren oder subtrahieren, erweitern Sie sie, um ihre Nenner gleichnamig zu machen. Multiplizieren Sie 1+\sqrt{7} mit \frac{x}{x}.

$$x=\frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x}{x}-\frac{6}{x}$$

Da \frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x}{x} und \frac{6}{x} denselben Nenner haben, subtrahieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler subtrahieren.

$$x=\frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x-6}{x}$$

Führen Sie die Multiplikationen als "\left(1+\sqrt{7}\right)x-6" aus.

$$x=\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}$$

Subtrahieren Sie \frac{x+\sqrt{7}x-6}{x} von beiden Seiten.

$$x-\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}=0$$

Um Ausdrücke zu addieren oder subtrahieren, erweitern Sie sie, um ihre Nenner gleichnamig zu machen. Multiplizieren Sie x mit \frac{x}{x}.

$$\frac{xx}{x}-\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}=0$$

Da \frac{xx}{x} und \frac{x+\sqrt{7}x-6}{x} denselben Nenner haben, subtrahieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler subtrahieren.

$$\frac{xx-\left(x+\sqrt{7}x-6\right)}{x}=0$$

Führen Sie die Multiplikationen als "xx-\left(x+\sqrt{7}x-6\right)" aus.

$$\frac{x^{2}-x-\sqrt{7}x+6}{x}=0$$

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x.

$$x^{2}-x-\sqrt{7}x+6=0$$

Kombinieren Sie alle Terme, die x enthalten.

$$x^{2}+\left(-1-\sqrt{7}\right)x+6=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+6=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -1-\sqrt{7} und c durch 6, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±\sqrt{\left(-\sqrt{7}-1\right)^{2}-4\times 6}}{2}$$

-1-\sqrt{7} zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±\sqrt{2\sqrt{7}+8-4\times 6}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 6.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±\sqrt{2\sqrt{7}+8-24}}{2}$$

Addieren Sie 8+2\sqrt{7} zu -24.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±\sqrt{2\sqrt{7}-16}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -16+2\sqrt{7}.

$$x=\frac{-\left(-\sqrt{7}-1\right)±i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}$$

Das Gegenteil von -1-\sqrt{7} ist 1+\sqrt{7}.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1±i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\sqrt{7}+1±i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1+\sqrt{7} zu i\sqrt{16-2\sqrt{7}}.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1+i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\sqrt{7}+1±i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{16-2\sqrt{7}} von 1+\sqrt{7}.

$$x=\frac{-i\sqrt{16-2\sqrt{7}}+\sqrt{7}+1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1+i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2} x=\frac{-i\sqrt{16-2\sqrt{7}}+\sqrt{7}+1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Um Ausdrücke zu addieren oder subtrahieren, erweitern Sie sie, um ihre Nenner gleichnamig zu machen. Multiplizieren Sie 1+\sqrt{7} mit \frac{x}{x}.

$$x=\frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x}{x}-\frac{6}{x}$$

Da \frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x}{x} und \frac{6}{x} denselben Nenner haben, subtrahieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler subtrahieren.

$$x=\frac{\left(1+\sqrt{7}\right)x-6}{x}$$

Führen Sie die Multiplikationen als "\left(1+\sqrt{7}\right)x-6" aus.

$$x=\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}$$

Subtrahieren Sie \frac{x+\sqrt{7}x-6}{x} von beiden Seiten.

$$x-\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}=0$$

Um Ausdrücke zu addieren oder subtrahieren, erweitern Sie sie, um ihre Nenner gleichnamig zu machen. Multiplizieren Sie x mit \frac{x}{x}.

$$\frac{xx}{x}-\frac{x+\sqrt{7}x-6}{x}=0$$

Da \frac{xx}{x} und \frac{x+\sqrt{7}x-6}{x} denselben Nenner haben, subtrahieren Sie diese, indem Sie ihre Zähler subtrahieren.

$$\frac{xx-\left(x+\sqrt{7}x-6\right)}{x}=0$$

Führen Sie die Multiplikationen als "xx-\left(x+\sqrt{7}x-6\right)" aus.

$$\frac{x^{2}-x-\sqrt{7}x+6}{x}=0$$

Die Variable x kann nicht gleich 0 sein, weil die Division durch null nicht definiert ist. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit x.

$$x^{2}-x-\sqrt{7}x+6=0$$

Subtrahieren Sie 6 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$x^{2}-x-\sqrt{7}x=-6$$

Kombinieren Sie alle Terme, die x enthalten.

$$x^{2}+\left(-1-\sqrt{7}\right)x=-6$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x=-6$$

Dividieren Sie -1-\sqrt{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{-1-\sqrt{7}}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{-1-\sqrt{7}}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+\left(\frac{-\sqrt{7}-1}{2}\right)^{2}=-6+\left(\frac{-\sqrt{7}-1}{2}\right)^{2}$$

\frac{-1-\sqrt{7}}{2} zum Quadrat.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+\frac{\sqrt{7}}{2}+2=-6+\frac{\sqrt{7}}{2}+2$$

Addieren Sie -6 zu 2+\frac{\sqrt{7}}{2}.

$$x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+\frac{\sqrt{7}}{2}+2=\frac{\sqrt{7}}{2}-4$$

Faktor x^{2}+\left(-\sqrt{7}-1\right)x+\frac{\sqrt{7}}{2}+2. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{-\sqrt{7}-1}{2}\right)^{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}-4$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{-\sqrt{7}-1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{7}}{2}-4}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{-\sqrt{7}-1}{2}=\frac{i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2} x+\frac{-\sqrt{7}-1}{2}=-\frac{i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2}$$

\frac{-1-\sqrt{7}}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{7}+1+i\sqrt{16-2\sqrt{7}}}{2} x=\frac{-i\sqrt{16-2\sqrt{7}}+\sqrt{7}+1}{2}$$