x^2-x-240=0 lösen

$$x ^ { 2 } - x - 240 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-15$$

$$x=16$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-x-240 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=-240$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -240 ergeben.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-16 b=15$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-16\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-16=0 und x+15=0.

$$x=16 x=-15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-240 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-1 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -240 ergeben.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -1 ergibt.

$$a=-16 b=15$$

x^{2}-x-240 als \left(x^{2}-16x\right)+\left(15x-240\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(15x-240\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-16\right)+15\left(x-16\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-16 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-16\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-16=0 und x+15=0.

$$x=16 x=-15$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-x-240=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -1 und c durch -240, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-240\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -240.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2}$$

Addieren Sie 1 zu 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±31}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±31}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu 31.

$$x=\frac{32}{2}$$

Dividieren Sie 32 durch 2.

$$x=16$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±31}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 31 von 1.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Dividieren Sie -30 durch 2.

$$x=-15$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=16 x=-15$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-x-240=0$$

Addieren Sie 240 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-x-240-\left(-240\right)=-\left(-240\right)$$

Die Subtraktion von -240 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-x=-\left(-240\right)$$

Subtrahieren Sie -240 von 0.

$$x^{2}-x=240$$

Dividieren Sie -1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=240+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=240+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 240 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{961}{4}$$

Faktor x^{2}-x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{961}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{31}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{31}{2}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=16 x=-15$$