x^2-8x+9=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 8 x + 9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{7}+4\approx 6,645751311$$

$$x=4-\sqrt{7}\approx 1,354248689$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-8x+9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -8 und c durch 9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 9}}{2}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 9}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-36}}{2}$$

Addieren Sie 64 zu -36.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{28}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{7}}{2}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{7}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2\sqrt{7}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+8}{2}$$

Dividieren Sie 8+2\sqrt{7} durch 2.

$$x=\sqrt{7}+4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2\sqrt{7}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{7} von 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{7}}{2}$$

Dividieren Sie 8-2\sqrt{7} durch 2.

$$x=4-\sqrt{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{7}+4 x=4-\sqrt{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-8x+9=0$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-8x+9-9=-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-8x=-9$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-9+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=-9+16$$

Addieren Sie -9 zu 16.

$$x^{2}-8x+16=7$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-4\right)^{2}=7$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

Vereinfachen.

$$x-4=\sqrt{7} x-4=-\sqrt{7}$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{7}+4 x=4-\sqrt{7}$$