x^2-7x-3=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{61} + 7}{2} \approx 7,405124838$$

$$x=\frac{7-\sqrt{61}}{2}\approx -0,405124838$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-7x-3=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -7 und c durch -3, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-3\right)}}{2}$$

-7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-3\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+12}}{2}$$

Addieren Sie 49 zu 12.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{61}}{2}$$

Das Gegenteil von -7 ist 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{61}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±\sqrt{61}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 7 zu \sqrt{61}.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{7±\sqrt{61}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{61} von 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{61}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{61}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-7x-3=0$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Die Subtraktion von -3 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Subtrahieren Sie -3 von 0.

$$x^{2}-7x=3$$

Dividieren Sie -7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=3+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie 3 zu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{61}{4}$$

Faktor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{61}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{61}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{61}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{61}}{2}$$

Addieren Sie \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{61}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{61}}{2}$$