x^2-3x-108=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-9$$

$$x=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-3x-108 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=-108$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -108 ergeben.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-12 b=9$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-108 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -108 ergeben.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -3 ergibt.

$$a=-12 b=9$$

x^{2}-3x-108 als \left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -3 und c durch -108, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 441.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

Das Gegenteil von -3 ist 3.

$$x=\frac{3±21}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±21}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 3 zu 21.

$$x=\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie 24 durch 2.

$$x=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{3±21}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 21 von 3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie -18 durch 2.

$$x=-9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=12 x=-9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Addieren Sie 108 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-3x-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Die Subtraktion von -108 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-3x=-\left(-108\right)$$

Subtrahieren Sie -108 von 0.

$$x^{2}-3x=108$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=108+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=108+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 108 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{441}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{21}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=12 x=-9$$