x^2-12x=11 lösen

$$x ^ { 2 } - 12 x = 11$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{47}+6\approx 12,8556546$$

$$x=6-\sqrt{47}\approx -0,8556546$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-12x=11$$

11 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-12x-11=11-11$$

Die Subtraktion von 11 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-12x-11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -12 und c durch -11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-11\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+44}}{2}$$

Addieren Sie 144 zu 44.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{188}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 188.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{47}}{2}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{47}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±2\sqrt{47}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 2\sqrt{47}.

$$x=\frac{2\sqrt{47}+12}{2}$$

Dividieren Sie 12+2\sqrt{47} durch 2.

$$x=\sqrt{47}+6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±2\sqrt{47}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{47} von 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{47}}{2}$$

Dividieren Sie 12-2\sqrt{47} durch 2.

$$x=6-\sqrt{47}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{47}+6 x=6-\sqrt{47}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-12x=11$$

Dividieren Sie -12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=11+\left(-6\right)^{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x^{2}-12x+36=11+36$$

Addieren Sie 11 zu 36.

$$x^{2}-12x+36=47$$

Faktor x^{2}-12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-6\right)^{2}=47$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{47}$$

Vereinfachen.

$$x-6=\sqrt{47} x-6=-\sqrt{47}$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{47}+6 x=6-\sqrt{47}$$