x^2-11x+24=0 lösen

$$x ^ { 2 } - 11 x + 24 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=3$$

$$x=8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-11x+24 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=24$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 24 ergeben.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-8 b=-3$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-8\right)\left(x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-8=0 und x-3=0.

$$x=8 x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+24 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-11 ab=1\times 24=24$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 24 ergeben.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -11 ergibt.

$$a=-8 b=-3$$

x^{2}-11x+24 als \left(x^{2}-8x\right)+\left(-3x+24\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-8 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-8\right)\left(x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-8=0 und x-3=0.

$$x=8 x=3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-11x+24=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -11 und c durch 24, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 24}}{2}$$

-11 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 24}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2}$$

Addieren Sie 121 zu -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2}$$

Das Gegenteil von -11 ist 11.

$$x=\frac{11±5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±5}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 11 zu 5.

$$x=\frac{16}{2}$$

Dividieren Sie 16 durch 2.

$$x=8$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{11±5}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 11.

$$x=\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie 6 durch 2.

$$x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=8 x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-11x+24=0$$

24 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-11x+24-24=-24$$

Die Subtraktion von 24 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-11x=-24$$

Dividieren Sie -11, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{11}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{11}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Addieren Sie -24 zu \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Addieren Sie \frac{11}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=8 x=3$$