x^2+x-342=0 lösen

$$x ^ { 2 } + x - 342 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-19$$

$$x=18$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+x-342 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=-342$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -342 ergeben.

$$-1,342 -2,171 -3,114 -6,57 -9,38 -18,19$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+342=341 -2+171=169 -3+114=111 -6+57=51 -9+38=29 -18+19=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-18 b=19$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-18\right)\left(x+19\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-18=0 und x+19=0.

$$x=18 x=-19$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-342 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=1\left(-342\right)=-342$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -342 ergeben.

$$-1,342 -2,171 -3,114 -6,57 -9,38 -18,19$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+342=341 -2+171=169 -3+114=111 -6+57=51 -9+38=29 -18+19=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-18 b=19$$

x^{2}+x-342 als \left(x^{2}-18x\right)+\left(19x-342\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-18x\right)+\left(19x-342\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 19 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-18\right)+19\left(x-18\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-18 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-18\right)\left(x+19\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-18=0 und x+19=0.

$$x=18 x=-19$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+x-342=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 1 und c durch -342, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-342\right)}}{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-342\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -342.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+1368}}{2}$$

Addieren Sie 1 zu 1368.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1369}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1369.

$$x=\frac{-1±37}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±37}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 37.

$$x=\frac{36}{2}$$

Dividieren Sie 36 durch 2.

$$x=18$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±37}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 37 von -1.

$$x=-\frac{38}{2}$$

Dividieren Sie -38 durch 2.

$$x=-19$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=18 x=-19$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+x-342=0$$

Addieren Sie 342 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+x-342-\left(-342\right)=-\left(-342\right)$$

Die Subtraktion von -342 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+x=-\left(-342\right)$$

Subtrahieren Sie -342 von 0.

$$x^{2}+x=342$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=342+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=342+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 342 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1369}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1369}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1369}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{37}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{37}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=18 x=-19$$