x^2+7x+47=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 7 x + 47 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2}\approx -3,5+5,894913061i$$

$$x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}\approx -3,5-5,894913061i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+7x+47=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 7 und c durch 47, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 47}}{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 47}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 47.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-188}}{2}$$

Addieren Sie 49 zu -188.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-139}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -139.

$$x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu i\sqrt{139}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±\sqrt{139}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{139} von -7.

$$x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2} x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+7x+47=0$$

47 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+7x+47-47=-47$$

Die Subtraktion von 47 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+7x=-47$$

Dividieren Sie 7, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-47+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-47+\frac{49}{4}$$

Addieren Sie -47 zu \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-\frac{139}{4}$$

Faktor x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{139}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{139}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{139}i}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{139}i}{2}$$

\frac{7}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-7+\sqrt{139}i}{2} x=\frac{-\sqrt{139}i-7}{2}$$