Nach x auflösen (komplexe Lösung)
x=\sqrt{2}-3\approx -1,585786438
x=-\left(\sqrt{2}+3\right)\approx -4,414213562
Nach x auflösen
x=\sqrt{2}-3\approx -1,585786438
x=-\sqrt{2}-3\approx -4,414213562
Diagramm
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x^{2}+6x+7=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 7}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 6 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 7}}{2}
6 zum Quadrat.
x=\frac{-6±\sqrt{36-28}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit 7.
x=\frac{-6±\sqrt{8}}{2}
Addieren Sie 36 zu -28.
x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 8.
x=\frac{2\sqrt{2}-6}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2\sqrt{2}.
x=\sqrt{2}-3
Dividieren Sie -6+2\sqrt{2} durch 2.
x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{2} von -6.
x=-\sqrt{2}-3
Dividieren Sie -6-2\sqrt{2} durch 2.
x=\sqrt{2}-3 x=-\sqrt{2}-3
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}+6x+7=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}+6x+7-7=-7
7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}+6x=-7
Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.
x^{2}+6x+3^{2}=-7+3^{2}
Dividieren Sie 6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+6x+9=-7+9
3 zum Quadrat.
x^{2}+6x+9=2
Addieren Sie -7 zu 9.
\left(x+3\right)^{2}=2
Faktor x^{2}+6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+3=\sqrt{2} x+3=-\sqrt{2}
Vereinfachen.
x=\sqrt{2}-3 x=-\sqrt{2}-3
3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}+6x+7=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 7}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 6 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 7}}{2}
6 zum Quadrat.
x=\frac{-6±\sqrt{36-28}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit 7.
x=\frac{-6±\sqrt{8}}{2}
Addieren Sie 36 zu -28.
x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 8.
x=\frac{2\sqrt{2}-6}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 2\sqrt{2}.
x=\sqrt{2}-3
Dividieren Sie -6+2\sqrt{2} durch 2.
x=\frac{-2\sqrt{2}-6}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{2} von -6.
x=-\sqrt{2}-3
Dividieren Sie -6-2\sqrt{2} durch 2.
x=\sqrt{2}-3 x=-\sqrt{2}-3
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}+6x+7=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}+6x+7-7=-7
7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}+6x=-7
Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.
x^{2}+6x+3^{2}=-7+3^{2}
Dividieren Sie 6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}+6x+9=-7+9
3 zum Quadrat.
x^{2}+6x+9=2
Addieren Sie -7 zu 9.
\left(x+3\right)^{2}=2
Faktor x^{2}+6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x+3=\sqrt{2} x+3=-\sqrt{2}
Vereinfachen.
x=\sqrt{2}-3 x=-\sqrt{2}-3
3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}