x^2+31x-360=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-40$$

$$x=9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+31x-360 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=31 ab=-360$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -360 ergeben.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 31 ergibt.

$$a=-9 b=40$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-9=0 und x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-360 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -360 ergeben.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 31 ergibt.

$$a=-9 b=40$$

x^{2}+31x-360 als \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 40 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-9=0 und x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 31 und c durch -360, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

31 zum Quadrat.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Addieren Sie 961 zu 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-31±49}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -31 zu 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie 18 durch 2.

$$x=9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-31±49}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 49 von -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Dividieren Sie -80 durch 2.

$$x=-40$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=9 x=-40$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Addieren Sie 360 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Die Subtraktion von -360 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Subtrahieren Sie -360 von 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Dividieren Sie 31, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{31}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{31}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{31}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Addieren Sie 360 zu \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Faktor x^{2}+31x+\frac{961}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

\frac{31}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=9 x=-40$$