x^2+21x-22=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 21 x - 22 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-22$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+21x-22 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=21 ab=-22$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -22 ergeben.

$$-1,22 -2,11$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+22=21 -2+11=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 21 ergibt.

$$a=-1 b=22$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-1\right)\left(x+22\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und x+22=0.

$$x=1 x=-22$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-22 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=21 ab=1\left(-22\right)=-22$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -22 ergeben.

$$-1,22 -2,11$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+22=21 -2+11=9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 21 ergibt.

$$a=-1 b=22$$

x^{2}+21x-22 als \left(x^{2}-x\right)+\left(22x-22\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(22x-22\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 22 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-1\right)+22\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(x+22\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und x+22=0.

$$x=1 x=-22$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+21x-22=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 21 und c durch -22, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-22\right)}}{2}$$

21 zum Quadrat.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-22\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -22.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+88}}{2}$$

Addieren Sie 441 zu 88.

$$x=\frac{-21±\sqrt{529}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 529.

$$x=\frac{-21±23}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-21±23}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -21 zu 23.

$$x=\frac{2}{2}$$

Dividieren Sie 2 durch 2.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-21±23}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 23 von -21.

$$x=-\frac{44}{2}$$

Dividieren Sie -44 durch 2.

$$x=-22$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-22$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+21x-22=0$$

Addieren Sie 22 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+21x-22-\left(-22\right)=-\left(-22\right)$$

Die Subtraktion von -22 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+21x=-\left(-22\right)$$

Subtrahieren Sie -22 von 0.

$$x^{2}+21x=22$$

Dividieren Sie 21, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{21}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{21}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+21x+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}=22+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{21}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+21x+\frac{441}{4}=22+\frac{441}{4}$$

Addieren Sie 22 zu \frac{441}{4}.

$$x^{2}+21x+\frac{441}{4}=\frac{529}{4}$$

Faktor x^{2}+21x+\frac{441}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{21}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{21}{2}=-\frac{23}{2}$$

\frac{21}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-22$$