x^2+100x-7500=0 lösen

$$x ^ { 2 } + 100 x - 7500 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-150$$

$$x=50$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+100x-7500 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=100 ab=-7500$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -7500 ergeben.

$$-1,7500 -2,3750 -3,2500 -4,1875 -5,1500 -6,1250 -10,750 -12,625 -15,500 -20,375 -25,300 -30,250 -50,150 -60,125 -75,100$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+7500=7499 -2+3750=3748 -3+2500=2497 -4+1875=1871 -5+1500=1495 -6+1250=1244 -10+750=740 -12+625=613 -15+500=485 -20+375=355 -25+300=275 -30+250=220 -50+150=100 -60+125=65 -75+100=25$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 100 ergibt.

$$a=-50 b=150$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-50\right)\left(x+150\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-50=0 und x+150=0.

$$x=50 x=-150$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-7500 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=100 ab=1\left(-7500\right)=-7500$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -7500 ergeben.

$$-1,7500 -2,3750 -3,2500 -4,1875 -5,1500 -6,1250 -10,750 -12,625 -15,500 -20,375 -25,300 -30,250 -50,150 -60,125 -75,100$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+7500=7499 -2+3750=3748 -3+2500=2497 -4+1875=1871 -5+1500=1495 -6+1250=1244 -10+750=740 -12+625=613 -15+500=485 -20+375=355 -25+300=275 -30+250=220 -50+150=100 -60+125=65 -75+100=25$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 100 ergibt.

$$a=-50 b=150$$

x^{2}+100x-7500 als \left(x^{2}-50x\right)+\left(150x-7500\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(150x-7500\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 150 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-50\right)+150\left(x-50\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-50 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-50\right)\left(x+150\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-50=0 und x+150=0.

$$x=50 x=-150$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+100x-7500=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 100 und c durch -7500, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-7500\right)}}{2}$$

100 zum Quadrat.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-7500\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -7500.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+30000}}{2}$$

Addieren Sie 10000 zu 30000.

$$x=\frac{-100±\sqrt{40000}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 40000.

$$x=\frac{-100±200}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-100±200}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -100 zu 200.

$$x=\frac{100}{2}$$

Dividieren Sie 100 durch 2.

$$x=50$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-100±200}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 200 von -100.

$$x=-\frac{300}{2}$$

Dividieren Sie -300 durch 2.

$$x=-150$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=50 x=-150$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+100x-7500=0$$

Addieren Sie 7500 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+100x-7500-\left(-7500\right)=-\left(-7500\right)$$

Die Subtraktion von -7500 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+100x=-\left(-7500\right)$$

Subtrahieren Sie -7500 von 0.

$$x^{2}+100x=7500$$

Dividieren Sie 100, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 50 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 50 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+100x+50^{2}=7500+50^{2}$$

50 zum Quadrat.

$$x^{2}+100x+2500=7500+2500$$

Addieren Sie 7500 zu 2500.

$$x^{2}+100x+2500=10000$$

Faktor x^{2}+100x+2500. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+50\right)^{2}=10000$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+50\right)^{2}}=\sqrt{10000}$$

Vereinfachen.

$$x+50=100 x+50=-100$$

50 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=50 x=-150$$