r^2-r=36+4r lösen

$$r ^ { 2 } - r = 36 + 4 r$$

Nach r auflösen

$$r=-4$$

$$r=9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Subtrahieren Sie 36 von beiden Seiten.

$$r^{2}-r-36=4r$$

Subtrahieren Sie 4r von beiden Seiten.

$$r^{2}-r-36-4r=0$$

Kombinieren Sie -r und -4r, um -5r zu erhalten.

$$r^{2}-5r-36=0$$

Um die Gleichung, den Faktor r^{2}-5r-36 mithilfe der Formel r^{2}+\left(a+b\right)r+ab=\left(r+a\right)\left(r+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-9 b=4$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(r+a\right)\left(r+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(r-9\right)\left(r+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie r-9=0 und r+4=0.

$$r=9 r=-4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 36 von beiden Seiten.

$$r^{2}-r-36=4r$$

Subtrahieren Sie 4r von beiden Seiten.

$$r^{2}-r-36-4r=0$$

Kombinieren Sie -r und -4r, um -5r zu erhalten.

$$r^{2}-5r-36=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als r^{2}+ar+br-36 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=1\left(-36\right)=-36$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -36 ergeben.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-9 b=4$$

r^{2}-5r-36 als \left(r^{2}-9r\right)+\left(4r-36\right) umschreiben.

$$\left(r^{2}-9r\right)+\left(4r-36\right)$$

Klammern Sie r in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$r\left(r-9\right)+4\left(r-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term r-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(r-9\right)\left(r+4\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie r-9=0 und r+4=0.

$$r=9 r=-4$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Subtrahieren Sie 36 von beiden Seiten.

$$r^{2}-r-36=4r$$

Subtrahieren Sie 4r von beiden Seiten.

$$r^{2}-r-36-4r=0$$

Kombinieren Sie -r und -4r, um -5r zu erhalten.

$$r^{2}-5r-36=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -5 und c durch -36, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-36\right)}}{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-36\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -36.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2}$$

Addieren Sie 25 zu 144.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$r=\frac{-\left(-5\right)±13}{2}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$r=\frac{5±13}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{5±13}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 13.

$$r=\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie 18 durch 2.

$$r=9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung r=\frac{5±13}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von 5.

$$r=-\frac{8}{2}$$

Dividieren Sie -8 durch 2.

$$r=-4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$r=9 r=-4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Subtrahieren Sie 4r von beiden Seiten.

$$r^{2}-r-4r=36$$

Kombinieren Sie -r und -4r, um -5r zu erhalten.

$$r^{2}-5r=36$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$r^{2}-5r+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$r^{2}-5r+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie 36 zu \frac{25}{4}.

$$r^{2}-5r+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktor r^{2}-5r+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(r-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(r-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Vereinfachen.

$$r-\frac{5}{2}=\frac{13}{2} r-\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$r=9 r=-4$$