p^2-9p+18=0 lösen

$$p ^ { 2 } - 9 p + 18 = 0$$

Nach p auflösen

$$p=3$$

$$p=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor p^{2}-9p+18 mithilfe der Formel p^{2}+\left(a+b\right)p+ab=\left(p+a\right)\left(p+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=18$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 18 ergeben.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-6 b=-3$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(p+a\right)\left(p+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(p-6\right)\left(p-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie p-6=0 und p-3=0.

$$p=6 p=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als p^{2}+ap+bp+18 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=1\times 18=18$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 18 ergeben.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-6 b=-3$$

p^{2}-9p+18 als \left(p^{2}-6p\right)+\left(-3p+18\right) umschreiben.

$$\left(p^{2}-6p\right)+\left(-3p+18\right)$$

Klammern Sie p in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$p\left(p-6\right)-3\left(p-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term p-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(p-6\right)\left(p-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie p-6=0 und p-3=0.

$$p=6 p=3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$p^{2}-9p+18=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -9 und c durch 18, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18}}{2}$$

-9 zum Quadrat.

$$p=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 18.

$$p=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2}$$

Addieren Sie 81 zu -72.

$$p=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$p=\frac{-\left(-9\right)±3}{2}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$p=\frac{9±3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{9±3}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 3.

$$p=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$p=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung p=\frac{9±3}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von 9.

$$p=\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie 6 durch 2.

$$p=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$p=6 p=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$p^{2}-9p+18=0$$

18 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$p^{2}-9p+18-18=-18$$

Die Subtraktion von 18 von sich selbst ergibt 0.

$$p^{2}-9p=-18$$

Dividieren Sie -9, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$p^{2}-9p+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-18+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$p^{2}-9p+\frac{81}{4}=-18+\frac{81}{4}$$

Addieren Sie -18 zu \frac{81}{4}.

$$p^{2}-9p+\frac{81}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor p^{2}-9p+\frac{81}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(p-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(p-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$p-\frac{9}{2}=\frac{3}{2} p-\frac{9}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addieren Sie \frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$p=6 p=3$$