n^2+3n-42=0 lösen

$$n ^ { 2 } + 3 n - 42 = 0$$

Nach n auflösen

$$n = \frac{\sqrt{177} - 3}{2} \approx 5,152067348$$

$$n=\frac{-\sqrt{177}-3}{2}\approx -8,152067348$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$n^{2}+3n-42=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 3 und c durch -42, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

3 zum Quadrat.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-42\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -42.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+168}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 168.

$$n=\frac{-3±\sqrt{177}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-3±\sqrt{177}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu \sqrt{177}.

$$n=\frac{\sqrt{177}-3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-3±\sqrt{177}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{177} von -3.

$$n=\frac{-\sqrt{177}-3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{\sqrt{177}-3}{2} n=\frac{-\sqrt{177}-3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$n^{2}+3n-42=0$$

Addieren Sie 42 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$n^{2}+3n-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Die Subtraktion von -42 von sich selbst ergibt 0.

$$n^{2}+3n=-\left(-42\right)$$

Subtrahieren Sie -42 von 0.

$$n^{2}+3n=42$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}+3n+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=42+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 42 zu \frac{9}{4}.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=\frac{177}{4}$$

Faktor n^{2}+3n+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{177}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{177}{4}}$$

Vereinfachen.

$$n+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{177}}{2} n+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{177}}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n=\frac{\sqrt{177}-3}{2} n=\frac{-\sqrt{177}-3}{2}$$