9y^2-104y-48 lösen

$$9 y ^ { 2 } - 104 y - 48$$

Faktorisieren

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 9y^{2}+ay+by-48 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-104 ab=9\left(-48\right)=-432$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -432 ergeben.

$$1,-432 2,-216 3,-144 4,-108 6,-72 8,-54 9,-48 12,-36 16,-27 18,-24$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-432=-431 2-216=-214 3-144=-141 4-108=-104 6-72=-66 8-54=-46 9-48=-39 12-36=-24 16-27=-11 18-24=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -104 ergibt.

$$a=-108 b=4$$

9y^{2}-104y-48 als \left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right) umschreiben.

$$\left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right)$$

Klammern Sie 9y in der ersten und 4 in der zweiten Gruppe aus.

$$9y\left(y-12\right)+4\left(y-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term y-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$9y^{2}-104y-48=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{\left(-104\right)^{2}-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

-104 zum Quadrat.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-36\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -48.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816+1728}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 10816 zu 1728.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{12544}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 12544.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±112}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -104 ist 104.

$$y=\frac{104±112}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$y=\frac{104±112}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{104±112}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 104 zu 112.

$$y=\frac{216}{18}$$

Dividieren Sie 216 durch 18.

$$y=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung y=\frac{104±112}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 112 von 104.

$$y=-\frac{8}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-8}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$y=-\frac{4}{9}$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 12 und für x_{2} -\frac{4}{9} ein.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y-\left(-\frac{4}{9}\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y+\frac{4}{9}\right)$$

Addieren Sie \frac{4}{9} zu y, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\times \frac{9y+4}{9}$$

Den größten gemeinsamen Faktor 9 in 9 und 9 aufheben.

$$9y^{2}-104y-48=\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Auswerten

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$