9x^2+7x+9=25 lösen

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 25 von beiden Seiten.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Subtrahieren Sie 25 von 9, um -16 zu erhalten.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 9x^{2}+ax+bx-16 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -144 ergeben.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 7 ergibt.

$$a=-9 b=16$$

9x^{2}+7x-16 als \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right) umschreiben.

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Klammern Sie 9x in der ersten und 16 in der zweiten Gruppe aus.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-1=0 und 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

25 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

Die Subtraktion von 25 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Subtrahieren Sie 25 von 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch 7 und c durch -16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

7 zum Quadrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 49 zu 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 625.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±25}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -7 zu 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Dividieren Sie 18 durch 18.

$$x=1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-7±25}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 25 von -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-32}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

9 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

Die Subtraktion von 9 von sich selbst ergibt 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Subtrahieren Sie 9 von 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Dividieren Sie \frac{7}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{7}{18} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{7}{18} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{7}{18}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Addieren Sie \frac{16}{9} zu \frac{49}{324}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Faktor x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

\frac{7}{18} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$