8x^2+2x=21 lösen

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 21 von beiden Seiten.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 8x^{2}+ax+bx-21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -168 ergeben.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=-12 b=14$$

8x^{2}+2x-21 als \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right) umschreiben.

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

Klammern Sie 4x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 2x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 2x-3=0 und 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}+2x=21$$

21 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

Die Subtraktion von 21 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch 2 und c durch -21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

2 zum Quadrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 4 zu 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±26}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -2 zu 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{24}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 8 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-2±26}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 26 von -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-28}{16} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}+2x=21$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{2}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

Dividieren Sie \frac{1}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

Addieren Sie \frac{21}{8} zu \frac{1}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

Faktor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

\frac{1}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$