8x^2-6x-4=0 lösen

$$8 { x }^{ 2 } -6x-4=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{41} + 3}{8} \approx 1,17539053$$

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}\approx -0,42539053$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -6 und c durch -4, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

-6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 8\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-32\left(-4\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -4.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+128}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 36 zu 128.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{164}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 164.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 2\sqrt{41}.

$$x=\frac{2\sqrt{41}+6}{16}$$

Dividieren Sie 6+2\sqrt{41} durch 16.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{41}}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{41} von 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{41}}{16}$$

Dividieren Sie 6-2\sqrt{41} durch 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}-6x-4=0$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$8x^{2}-6x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Die Subtraktion von -4 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}-6x=-\left(-4\right)$$

Subtrahieren Sie -4 von 0.

$$8x^{2}-6x=4$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}-6x}{8}=\frac{4}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{8}\right)x=\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-6}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{4}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}$$

Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktor x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Addieren Sie \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}$$