8x^2-4x=18 lösen

$$8 { x }^{ 2 } -4x=18$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{37} + 1}{4} \approx 1,770690633$$

$$x=\frac{1-\sqrt{37}}{4}\approx -1,270690633$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$8x^{2}-4x=18$$

18 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$8x^{2}-4x-18=18-18$$

Die Subtraktion von 18 von sich selbst ergibt 0.

$$8x^{2}-4x-18=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 8, b durch -4 und c durch -18, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 8\left(-18\right)}}{2\times 8}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 8\left(-18\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-32\left(-18\right)}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie -32 mit -18.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+576}}{2\times 8}$$

Addieren Sie 16 zu 576.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{592}}{2\times 8}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 592.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{37}}{2\times 8}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{37}}{2\times 8}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 8.

$$x=\frac{4±4\sqrt{37}}{16}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{37}}{16}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 4\sqrt{37}.

$$x=\frac{4\sqrt{37}+4}{16}$$

Dividieren Sie 4+4\sqrt{37} durch 16.

$$x=\frac{\sqrt{37}+1}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{37}}{16}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{37} von 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{37}}{16}$$

Dividieren Sie 4-4\sqrt{37} durch 16.

$$x=\frac{1-\sqrt{37}}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{37}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{37}}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$8x^{2}-4x=18$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 8.

$$\frac{8x^{2}-4x}{8}=\frac{18}{8}$$

Division durch 8 macht die Multiplikation mit 8 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{8}\right)x=\frac{18}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-4}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 4 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{18}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{18}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{9}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{2}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{4} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{4}+\frac{1}{16}$$

Addieren Sie \frac{9}{4} zu \frac{1}{16}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{37}{16}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{37}{16}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{16}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{37}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{37}}{4}$$

Addieren Sie \frac{1}{4} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{\sqrt{37}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{37}}{4}$$