7+4x+5x^2=0 lösen

$$7+4x+5 { x }^{ 2 } = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}\approx -0,4+1,113552873i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}\approx -0,4-1,113552873i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 4 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 7}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-140}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 16 zu -140.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-124}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -124.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{31}i}{10}$$

Dividieren Sie -4+2i\sqrt{31} durch 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{31} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-4}{10}$$

Dividieren Sie -4-2i\sqrt{31} durch 10.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$5x^{2}+4x+7-7=-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$5x^{2}+4x=-7$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Dividieren Sie \frac{4}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{5} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{5} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{4}{25}$$

Addieren Sie -\frac{7}{5} zu \frac{4}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{31}{25}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{31}{25}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{25}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{31}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{31}i}{5}$$

\frac{2}{5} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$