7x^2-12x+8=0 lösen

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 8 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}\approx 0,857142857+0,638876565i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}\approx 0,857142857-0,638876565i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch -12 und c durch 8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 8}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 144 zu -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{14}$$

Dividieren Sie 12+4i\sqrt{5} durch 14.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4i\sqrt{5} von 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{14}$$

Dividieren Sie 12-4i\sqrt{5} durch 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$7x^{2}-12x+8-8=-8$$

Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.

$$7x^{2}-12x=-8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7x^{2}-12x}{7}=-\frac{8}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{8}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{12}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{6}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{6}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{6}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{8}{7}+\frac{36}{49}$$

Addieren Sie -\frac{8}{7} zu \frac{36}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{20}{49}$$

Faktor x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

Addieren Sie \frac{6}{7} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$