7x^2+18x-9 lösen

$$7 x ^ { 2 } + 18 x - 9$$

Faktorisieren

$$\left(7x-3\right)\left(x+3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als 7x^{2}+ax+bx-9 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -63 ergeben.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 18 ergibt.

$$a=-3 b=21$$

7x^{2}+18x-9 als \left(7x^{2}-3x\right)+\left(21x-9\right) umschreiben.

$$\left(7x^{2}-3x\right)+\left(21x-9\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(7x-3\right)+3\left(7x-3\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 7x-3 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(7x-3\right)\left(x+3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$7x^{2}+18x-9=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 324 zu 252.

$$x=\frac{-18±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 576.

$$x=\frac{-18±24}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$x=\frac{-18±24}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±24}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -18 zu 24.

$$x=\frac{6}{14}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{6}{14} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{3}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±24}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 24 von -18.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Dividieren Sie -42 durch 14.

$$x=-3$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} \frac{3}{7} und für x_{2} -3 ein.

$$7x^{2}+18x-9=7\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$7x^{2}+18x-9=7\left(x-\frac{3}{7}\right)\left(x+3\right)$$

Subtrahieren Sie \frac{3}{7} von x, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$7x^{2}+18x-9=7\times \frac{7x-3}{7}\left(x+3\right)$$

Den größten gemeinsamen Faktor 7 in 7 und 7 aufheben.

$$7x^{2}+18x-9=\left(7x-3\right)\left(x+3\right)$$

Auswerten

$$\left(7x-3\right)\left(x+3\right)$$