7t^2-32t+12=0 lösen

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Nach t auflösen

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4,15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0,412160422$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch -32 und c durch 12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

-32 zum Quadrat.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 1024 zu -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Das Gegenteil von -32 ist 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 32 zu 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Dividieren Sie 32+4\sqrt{43} durch 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{43} von 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Dividieren Sie 32-4\sqrt{43} durch 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

12 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

Die Subtraktion von 12 von sich selbst ergibt 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Dividieren Sie -\frac{32}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{16}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{16}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{16}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Addieren Sie -\frac{12}{7} zu \frac{256}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Faktor t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Vereinfachen.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Addieren Sie \frac{16}{7} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$