7n^2+10n-130=0 lösen

$$7 n ^ { 2 } + 10 n - 130 = 0$$

Nach n auflösen

$$n = \frac{\sqrt{935} - 5}{7} \approx 3,6539671$$

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}\approx -5,082538529$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 7, b durch 10 und c durch -130, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

10 zum Quadrat.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-28\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie -28 mit -130.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+3640}}{2\times 7}$$

Addieren Sie 100 zu 3640.

$$n=\frac{-10±\sqrt{3740}}{2\times 7}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3740.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{2\times 7}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 7.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 2\sqrt{935}.

$$n=\frac{2\sqrt{935}-10}{14}$$

Dividieren Sie -10+2\sqrt{935} durch 14.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{935} von -10.

$$n=\frac{-2\sqrt{935}-10}{14}$$

Dividieren Sie -10-2\sqrt{935} durch 14.

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Addieren Sie 130 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$7n^{2}+10n-130-\left(-130\right)=-\left(-130\right)$$

Die Subtraktion von -130 von sich selbst ergibt 0.

$$7n^{2}+10n=-\left(-130\right)$$

Subtrahieren Sie -130 von 0.

$$7n^{2}+10n=130$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 7.

$$\frac{7n^{2}+10n}{7}=\frac{130}{7}$$

Division durch 7 macht die Multiplikation mit 7 rückgängig.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n=\frac{130}{7}$$

Dividieren Sie \frac{10}{7}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{7} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{7} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{130}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{7}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{130}{7}+\frac{25}{49}$$

Addieren Sie \frac{130}{7} zu \frac{25}{49}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{935}{49}$$

Faktor n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{935}{49}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{935}{49}}$$

Vereinfachen.

$$n+\frac{5}{7}=\frac{\sqrt{935}}{7} n+\frac{5}{7}=-\frac{\sqrt{935}}{7}$$

\frac{5}{7} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$