7+(x-4)^2=11 lösen

$$7 + ( x - 4 ) ^ { 2 } = 11$$

Nach x auflösen

$$x=6$$

$$x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

\left(x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Addieren Sie 7 und 16, um 23 zu erhalten.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Subtrahieren Sie 11 von beiden Seiten.

$$23+x^{2}-8x-11=0$$

Subtrahieren Sie 11 von 23, um 12 zu erhalten.

$$12+x^{2}-8x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-8x+12 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-6 b=-2$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Addieren Sie 7 und 16, um 23 zu erhalten.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Subtrahieren Sie 11 von beiden Seiten.

$$23+x^{2}-8x-11=0$$

Subtrahieren Sie 11 von 23, um 12 zu erhalten.

$$12+x^{2}-8x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+12 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 12 ergeben.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-6 b=-2$$

x^{2}-8x+12 als \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Addieren Sie 7 und 16, um 23 zu erhalten.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Subtrahieren Sie 11 von beiden Seiten.

$$23+x^{2}-8x-11=0$$

Subtrahieren Sie 11 von 23, um 12 zu erhalten.

$$12+x^{2}-8x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -8 und c durch 12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Addieren Sie 64 zu -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±4}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±4}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Dividieren Sie 4 durch 2.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6 x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x-4\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Addieren Sie 7 und 16, um 23 zu erhalten.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Subtrahieren Sie 23 von beiden Seiten.

$$x^{2}-8x=11-23$$

Subtrahieren Sie 23 von 11, um -12 zu erhalten.

$$x^{2}-8x=-12$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Addieren Sie -12 zu 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Faktor x^{2}-8x+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Vereinfachen.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=6 x=2$$