6x+3x(3x+1)+9=90 lösen

$$6x+3x(3x+1)+9 = 90$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{\sqrt{37} - 1}{2} \approx 2,541381265$$

$$x=\frac{-\sqrt{37}-1}{2}\approx -3,541381265$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit 3x+1 zu multiplizieren.

$$6x+9x^{2}+3x+9=90$$

Kombinieren Sie 6x und 3x, um 9x zu erhalten.

$$9x+9x^{2}+9=90$$

Subtrahieren Sie 90 von beiden Seiten.

$$9x+9x^{2}+9-90=0$$

Subtrahieren Sie 90 von 9, um -81 zu erhalten.

$$9x+9x^{2}-81=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$9x^{2}+9x-81=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch 9 und c durch -81, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 9\left(-81\right)}}{2\times 9}$$

9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 9\left(-81\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-36\left(-81\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -81.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+2916}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 81 zu 2916.

$$x=\frac{-9±\sqrt{2997}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2997.

$$x=\frac{-9±9\sqrt{37}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{-9±9\sqrt{37}}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±9\sqrt{37}}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -9 zu 9\sqrt{37}.

$$x=\frac{9\sqrt{37}-9}{18}$$

Dividieren Sie -9+9\sqrt{37} durch 18.

$$x=\frac{\sqrt{37}-1}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-9±9\sqrt{37}}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 9\sqrt{37} von -9.

$$x=\frac{-9\sqrt{37}-9}{18}$$

Dividieren Sie -9-9\sqrt{37} durch 18.

$$x=\frac{-\sqrt{37}-1}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{37}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{37}-1}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 3x mit 3x+1 zu multiplizieren.

$$6x+9x^{2}+3x+9=90$$

Kombinieren Sie 6x und 3x, um 9x zu erhalten.

$$9x+9x^{2}+9=90$$

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten.

$$9x+9x^{2}=90-9$$

Subtrahieren Sie 9 von 90, um 81 zu erhalten.

$$9x+9x^{2}=81$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$9x^{2}+9x=81$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}+9x}{9}=\frac{81}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{9}{9}x=\frac{81}{9}$$

Dividieren Sie 9 durch 9.

$$x^{2}+x=\frac{81}{9}$$

Dividieren Sie 81 durch 9.

$$x^{2}+x=9$$

Dividieren Sie 1, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{1}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=9+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{1}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=9+\frac{1}{4}$$

Addieren Sie 9 zu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{37}{4}$$

Faktor x^{2}+x+\frac{1}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{37}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{37}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{37}}{2}$$

\frac{1}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{37}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{37}-1}{2}$$