636=5n+4n^2 lösen

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Nach n auflösen

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13,25$$

$$n=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$5n+4n^{2}=636$$

Subtrahieren Sie 636 von beiden Seiten.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 4n^{2}+an+bn-636 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -2544 ergeben.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 5 ergibt.

$$a=-48 b=53$$

4n^{2}+5n-636 als \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right) umschreiben.

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Klammern Sie 4n in der ersten und 53 in der zweiten Gruppe aus.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term n-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie n-12=0 und 4n+53=0.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$5n+4n^{2}=636$$

Subtrahieren Sie 636 von beiden Seiten.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch 5 und c durch -636, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

5 zum Quadrat.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 25 zu 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-5±101}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

Dividieren Sie 96 durch 8.

$$n=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung n=\frac{-5±101}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 101 von -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-106}{8} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$n=-\frac{53}{4}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Seiten vertauschen, damit alle Terme mit Variablen auf der linken Seite sind.

$$5n+4n^{2}=636$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4n^{2}+5n=636$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

Dividieren Sie 636 durch 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Dividieren Sie \frac{5}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Addieren Sie 159 zu \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

Faktor n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Vereinfachen.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

\frac{5}{8} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$